Две основные модели

В экологии существуют две классические модели, модель хищника и жертвы, и модель конкуренции двух видов.

а) Модель хищник-жертва.

Пусть N1=N1(t) - численность жертв, N2=N2(t) - численность хищников. Если бы хищников не было, то жертвы размножались бы экспоненциально быстро dN1/dt=k1N1. Но если имеется одновременно N1 жертв и N2 хищников, то вероятность встречи хищника и жертвы, скорее всего, пропрорциональна произведению N1N2, так что за время dt будет съедено α12N1N2 жертв. Отсюда получаем уравнение

dN1/dt=k1N1-α12N1N2. (1.1)

Далее, если бы жертв не было, то хищники гибли бы от голода, и притом, наверное, экспоненциально быстро: dN2/dt=-k2N2. Но если хищникам есть что покушать, то они размножаются со скоростью пропорциональной количеству съеденного. Получаем уравнение

dN2/dt=-k2N2+α21N1N2. (1.2)

Система уравнений 1.1 и 1.2 явно решается.

б) Модель конкуренции двух видов.

Считается, что имеется некоторая конкретная емкость среды К, равная максимально возможной численности данного вида в определенных условиях, получается следующее уравнение:

dN/dt=kN(1-N/K)=kN 1.3

Иными словами, вводится представление о том, что логарифмическая скорость роста N-1(dN/dt) Линейно снижается с возрастанием N. Уравнение 1.3 с начальным условием N (0) = n без труда решается явно. Качественная картина состоит в том, что небольшая в начале опыта численность вида монотонно возрастает по гладкой кривой. Это так называемый логистический рост. Логистическая кривая асимптотически приближается к максимально возможному значению К. Предположим, что имеются два вида, способные жить в какой-то определенной среде, причем каждый из них в отсутствии другого размножается по логистическому уравнению (1.3). Имеются, следовательно, два уравнения

dNi/dt=kiNi(1-Ni/Ki)= kiNi,i=1,2 (1.4)

Предположим, что при совместном выращивании двух видов в данной среде действие их друг на друга сводится к тому, что один вид потребляет часть ресурсов другого вида. Это означает, что в соответствующей модели следует вместо множителя 1-Ni/Ki, входящего в в уравнения в (1.4) в качестве фактора исчерпания ресурсов среды, подставить множитель 1-(Ni+αijNj)/Ki.

dN1/dt=k1N1(1- (N1+α12N2)/K1),

dN2/dt=k2N2(1- (N2+α21N1)/K2). (1.5)

Система (1.5) мыслится как общее описание взаимодействия двух видов, живущих в одной среде обитания. Остается вопрос, действует ли в каких-то конкретных условиях система (1.5) с какими-нибудь значениями коэффициентов.

Другие статьи

Оценка радиационной обстановки на территории Ветковского района с применением ГИС-технологий На современном этапе развития, человечество постоянно сталкивается с ухудшающейся экологической обстановкой, вызванной различными техногенными загрязнителями, в том числе контролируемым и неконтролируемым радиоактивным загрязнением биосферы. С развитием атомной наук ...