Исследование особых точек на устойчивость

Исследуем найденные особые точки на устойчивость. Для этого производится линеаризация (замена на линейное выражение) системы (1) в малой окрестности каждой особой точки. Представим Х1Х2 в следующем виде:

Х1=х1+ε

Х2=х2+η

Где ε, η - относительные возмущения, соответственно от значений х1 и х2. Тогда линеаризуемая система в малой окрестности особой точки, соответствующая исходной системе (1) имеет следующий вид:

ε/dt=aε+bηη/dt=cε+cη (3)

Решение системы уравнений имеет линейный вид:

ε(t)=C1eλ1t, η(t)=C2eλ2t, где С1, С2- константы.

Устойчивость особых точек определяется корнями характеризующего уравнения (квадратичное уравнение):

λ2+(a+d)λ+(ad-bc)=0 (4)

λ 1,2=(a+d)/2±√(a + d)2/4+bc-ad (5)

где λ 1,2 - корни характеризующие уравнения.

Найдём величины a, b, c, d:

a= dP/dx1=c1-a12x2,=dР/dх2=-а12х1=dQ/dx1=a21x2,=dQ/dx2=-c2+c21x1

Для каждой особой точки находим λ l , λ 2 по формуле (5):

-я особая точка:

а=с1; b=0; d=-c2

Таким образом, корни характеристического уравнения для 1-ой особой точки являются действительными и противоположными по знаку числами, поэтому эта точка равновесия является седлом (две интегральные кривые проходят через эту точку, остальные представляют собой гиперболы). Эти особые точки неустойчивы. Характеристика седла: изображающая точка, двигаясь по интегральным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальных решений со временем увеличивается, а другое падает.

-я особая точка: =0; =-a12c2/c21;=c1a21/a12;=0;

Таким образом, корни характеризующего уравнения для 2-ой особой точки являются чисто мнимыми числами, следовательно, вторая особая точка. Представляет собой центр. В случае седла изображающая точка не проходит через особую точку.

Другие статьи

Воздействие скважинного способа добычи полезных ископаемых на окружающую среду Постоянное расширение сырьевой базы России требует повышения эффективности геологоразведочного производства на основе совершенствования техники и технологии бурения скважин. Вместе с тем, комплексная механизация как основных, так и вспомогательных технологических ...